如果要列出數學中一個最讓人印象深刻且特別的數，恐怕圓周率π會當仁不讓地排在第一位。這個來自於圓並且最終擴散到各個學科公式中的數字，被人們研究了幾千年，仍然熱度不減。π已經不僅僅是數字了，更像是一種數學文化。
如果要列出數學中一個最讓人印象深刻且特別的數，恐怕圓周率π會當仁不讓地排在第一位。這個來自於圓並且最終擴散到各個學科公式中的數字，被人們研究了幾千年，仍然熱度不減。π已經不僅僅是數字了，更像是一種數學文化。
我們都知道π是個無理數，π不能用整數分數來表示的一個數字，這一點上它就遠比一般的有理數更加高冷。再比如，π還是一個超越數，何為超越數呢？就是π不可能是任何整數係數有理多項式方程的解，好像有點繞口。我們見過許許多多複雜的多項式方程，可能次數不定。但是隻要這個多項式方程的係數都是整數，那麼無論你用什麼方法來求解。當然高於或等於五次以上的有理數方程是沒有根式解的，沒有根式解，實際上並不影響我們用別的方法來求最終的解。就算我們有了強大的計算機求解工具，π始終不會是這樣的方程的一個根。這就更加顯得神祕莫測了。總之，一句話，π不是尋常的數字。
人們知道了這個著名且神祕的數字，自然是要對它窮追猛打，企圖發掘出這個數字背後的全部奧祕。所以，探求一個數字的精義，首先你得求出這個數字是多少，然後才能再做打算把。你這麼想，事實上，人們的研究道路也正是這樣進行的。
如果要列出數學中一個最讓人印象深刻且特別的數，恐怕圓周率π會當仁不讓地排在第一位。這個來自於圓並且最終擴散到各個學科公式中的數字，被人們研究了幾千年，仍然熱度不減。π已經不僅僅是數字了，更像是一種數學文化。
我們都知道π是個無理數，π不能用整數分數來表示的一個數字，這一點上它就遠比一般的有理數更加高冷。再比如，π還是一個超越數，何為超越數呢？就是π不可能是任何整數係數有理多項式方程的解，好像有點繞口。我們見過許許多多複雜的多項式方程，可能次數不定。但是隻要這個多項式方程的係數都是整數，那麼無論你用什麼方法來求解。當然高於或等於五次以上的有理數方程是沒有根式解的，沒有根式解，實際上並不影響我們用別的方法來求最終的解。就算我們有了強大的計算機求解工具，π始終不會是這樣的方程的一個根。這就更加顯得神祕莫測了。總之，一句話，π不是尋常的數字。
人們知道了這個著名且神祕的數字，自然是要對它窮追猛打，企圖發掘出這個數字背後的全部奧祕。所以，探求一個數字的精義，首先你得求出這個數字是多少，然後才能再做打算把。你這麼想，事實上，人們的研究道路也正是這樣進行的。
現在已經沒法確定哪個文明，或者哪個人第一個發現圓周率π了。不過這不重要，根據現在殘存為數不多的數學典籍，在古巴比倫發現的一塊公元前1600年的泥板上記錄著當時把25/8（3.125）作為圓周率。當然這個數字的誤差比較大，不過考慮到當時處於人類的遠古時代，這樣的圓周率數值也是可以滿足需求的了。再後來，埃及人，古希臘人也都開始意識到了圓周率這個常數了。
如果要列出數學中一個最讓人印象深刻且特別的數，恐怕圓周率π會當仁不讓地排在第一位。這個來自於圓並且最終擴散到各個學科公式中的數字，被人們研究了幾千年，仍然熱度不減。π已經不僅僅是數字了，更像是一種數學文化。
我們都知道π是個無理數，π不能用整數分數來表示的一個數字，這一點上它就遠比一般的有理數更加高冷。再比如，π還是一個超越數，何為超越數呢？就是π不可能是任何整數係數有理多項式方程的解，好像有點繞口。我們見過許許多多複雜的多項式方程，可能次數不定。但是隻要這個多項式方程的係數都是整數，那麼無論你用什麼方法來求解。當然高於或等於五次以上的有理數方程是沒有根式解的，沒有根式解，實際上並不影響我們用別的方法來求最終的解。就算我們有了強大的計算機求解工具，π始終不會是這樣的方程的一個根。這就更加顯得神祕莫測了。總之，一句話，π不是尋常的數字。
人們知道了這個著名且神祕的數字，自然是要對它窮追猛打，企圖發掘出這個數字背後的全部奧祕。所以，探求一個數字的精義，首先你得求出這個數字是多少，然後才能再做打算把。你這麼想，事實上，人們的研究道路也正是這樣進行的。
現在已經沒法確定哪個文明，或者哪個人第一個發現圓周率π了。不過這不重要，根據現在殘存為數不多的數學典籍，在古巴比倫發現的一塊公元前1600年的泥板上記錄著當時把25/8（3.125）作為圓周率。當然這個數字的誤差比較大，不過考慮到當時處於人類的遠古時代，這樣的圓周率數值也是可以滿足需求的了。再後來，埃及人，古希臘人也都開始意識到了圓周率這個常數了。
古巴比倫人在泥板上記錄π
不過說到，世界上第一個完善系統的求圓周率算法還是要數中國數學家劉徽的“割圓術”了。劉徽，中國三國時代著名數學家，大約生活在公元2到3世紀。劉徽以給《九章算術》做注而聞名於世，其實，他還有一項更加出色的工作，那就是通過割圓術來求圓周率π。
如果要列出數學中一個最讓人印象深刻且特別的數，恐怕圓周率π會當仁不讓地排在第一位。這個來自於圓並且最終擴散到各個學科公式中的數字，被人們研究了幾千年，仍然熱度不減。π已經不僅僅是數字了，更像是一種數學文化。
我們都知道π是個無理數，π不能用整數分數來表示的一個數字，這一點上它就遠比一般的有理數更加高冷。再比如，π還是一個超越數，何為超越數呢？就是π不可能是任何整數係數有理多項式方程的解，好像有點繞口。我們見過許許多多複雜的多項式方程，可能次數不定。但是隻要這個多項式方程的係數都是整數，那麼無論你用什麼方法來求解。當然高於或等於五次以上的有理數方程是沒有根式解的，沒有根式解，實際上並不影響我們用別的方法來求最終的解。就算我們有了強大的計算機求解工具，π始終不會是這樣的方程的一個根。這就更加顯得神祕莫測了。總之，一句話，π不是尋常的數字。
人們知道了這個著名且神祕的數字，自然是要對它窮追猛打，企圖發掘出這個數字背後的全部奧祕。所以，探求一個數字的精義，首先你得求出這個數字是多少，然後才能再做打算把。你這麼想，事實上，人們的研究道路也正是這樣進行的。
現在已經沒法確定哪個文明，或者哪個人第一個發現圓周率π了。不過這不重要，根據現在殘存為數不多的數學典籍，在古巴比倫發現的一塊公元前1600年的泥板上記錄著當時把25/8（3.125）作為圓周率。當然這個數字的誤差比較大，不過考慮到當時處於人類的遠古時代，這樣的圓周率數值也是可以滿足需求的了。再後來，埃及人，古希臘人也都開始意識到了圓周率這個常數了。
古巴比倫人在泥板上記錄π
不過說到，世界上第一個完善系統的求圓周率算法還是要數中國數學家劉徽的“割圓術”了。劉徽，中國三國時代著名數學家，大約生活在公元2到3世紀。劉徽以給《九章算術》做注而聞名於世，其實，他還有一項更加出色的工作，那就是通過割圓術來求圓周率π。
中國古代最傑出的數學家 劉徽
其實割圓術，不算是劉徽的首創，比他更早的古希臘大神阿基米德曾經也提出過類似的方法。阿基米德採用內切正多邊形和外接正多邊形來逼近真實圓的情況，原理上當然是正確的，但是操作起來並不十分方便，計算起來也比劉徽的方法更加複雜。這裡就不提阿基米德，只說劉徽的割圓術。
如果要列出數學中一個最讓人印象深刻且特別的數，恐怕圓周率π會當仁不讓地排在第一位。這個來自於圓並且最終擴散到各個學科公式中的數字，被人們研究了幾千年，仍然熱度不減。π已經不僅僅是數字了，更像是一種數學文化。
我們都知道π是個無理數，π不能用整數分數來表示的一個數字，這一點上它就遠比一般的有理數更加高冷。再比如，π還是一個超越數，何為超越數呢？就是π不可能是任何整數係數有理多項式方程的解，好像有點繞口。我們見過許許多多複雜的多項式方程，可能次數不定。但是隻要這個多項式方程的係數都是整數，那麼無論你用什麼方法來求解。當然高於或等於五次以上的有理數方程是沒有根式解的，沒有根式解，實際上並不影響我們用別的方法來求最終的解。就算我們有了強大的計算機求解工具，π始終不會是這樣的方程的一個根。這就更加顯得神祕莫測了。總之，一句話，π不是尋常的數字。
人們知道了這個著名且神祕的數字，自然是要對它窮追猛打，企圖發掘出這個數字背後的全部奧祕。所以，探求一個數字的精義，首先你得求出這個數字是多少，然後才能再做打算把。你這麼想，事實上，人們的研究道路也正是這樣進行的。
現在已經沒法確定哪個文明，或者哪個人第一個發現圓周率π了。不過這不重要，根據現在殘存為數不多的數學典籍，在古巴比倫發現的一塊公元前1600年的泥板上記錄著當時把25/8（3.125）作為圓周率。當然這個數字的誤差比較大，不過考慮到當時處於人類的遠古時代，這樣的圓周率數值也是可以滿足需求的了。再後來，埃及人，古希臘人也都開始意識到了圓周率這個常數了。
古巴比倫人在泥板上記錄π
不過說到，世界上第一個完善系統的求圓周率算法還是要數中國數學家劉徽的“割圓術”了。劉徽，中國三國時代著名數學家，大約生活在公元2到3世紀。劉徽以給《九章算術》做注而聞名於世，其實，他還有一項更加出色的工作，那就是通過割圓術來求圓周率π。
中國古代最傑出的數學家 劉徽
其實割圓術，不算是劉徽的首創，比他更早的古希臘大神阿基米德曾經也提出過類似的方法。阿基米德採用內切正多邊形和外接正多邊形來逼近真實圓的情況，原理上當然是正確的，但是操作起來並不十分方便，計算起來也比劉徽的方法更加複雜。這裡就不提阿基米德，只說劉徽的割圓術。
遠古大神 阿基米德
劉徽的方法，其實思想上容易理解。我們把一個正多邊形，不斷增加邊數，就會發現越來越像是一個圓。這是一種天然的極限逼近，給一個任何數學基礎的人來解釋，他也可以很好地理解。高斯曾經讓人在自己墓碑上刻上一個正十七邊形以此來紀念自己數學生涯的輝煌成就，可後人在刻碑的時候發現這個正十七邊形跟圓實在太像了，於是刻了一個十七角形放上面。
如果要列出數學中一個最讓人印象深刻且特別的數，恐怕圓周率π會當仁不讓地排在第一位。這個來自於圓並且最終擴散到各個學科公式中的數字，被人們研究了幾千年，仍然熱度不減。π已經不僅僅是數字了，更像是一種數學文化。
我們都知道π是個無理數，π不能用整數分數來表示的一個數字，這一點上它就遠比一般的有理數更加高冷。再比如，π還是一個超越數，何為超越數呢？就是π不可能是任何整數係數有理多項式方程的解，好像有點繞口。我們見過許許多多複雜的多項式方程，可能次數不定。但是隻要這個多項式方程的係數都是整數，那麼無論你用什麼方法來求解。當然高於或等於五次以上的有理數方程是沒有根式解的，沒有根式解，實際上並不影響我們用別的方法來求最終的解。就算我們有了強大的計算機求解工具，π始終不會是這樣的方程的一個根。這就更加顯得神祕莫測了。總之，一句話，π不是尋常的數字。
人們知道了這個著名且神祕的數字，自然是要對它窮追猛打，企圖發掘出這個數字背後的全部奧祕。所以，探求一個數字的精義，首先你得求出這個數字是多少，然後才能再做打算把。你這麼想，事實上，人們的研究道路也正是這樣進行的。
現在已經沒法確定哪個文明，或者哪個人第一個發現圓周率π了。不過這不重要，根據現在殘存為數不多的數學典籍，在古巴比倫發現的一塊公元前1600年的泥板上記錄著當時把25/8（3.125）作為圓周率。當然這個數字的誤差比較大，不過考慮到當時處於人類的遠古時代，這樣的圓周率數值也是可以滿足需求的了。再後來，埃及人，古希臘人也都開始意識到了圓周率這個常數了。
古巴比倫人在泥板上記錄π
不過說到，世界上第一個完善系統的求圓周率算法還是要數中國數學家劉徽的“割圓術”了。劉徽，中國三國時代著名數學家，大約生活在公元2到3世紀。劉徽以給《九章算術》做注而聞名於世，其實，他還有一項更加出色的工作，那就是通過割圓術來求圓周率π。
中國古代最傑出的數學家 劉徽
其實割圓術，不算是劉徽的首創，比他更早的古希臘大神阿基米德曾經也提出過類似的方法。阿基米德採用內切正多邊形和外接正多邊形來逼近真實圓的情況，原理上當然是正確的，但是操作起來並不十分方便，計算起來也比劉徽的方法更加複雜。這裡就不提阿基米德，只說劉徽的割圓術。
遠古大神 阿基米德
劉徽的方法，其實思想上容易理解。我們把一個正多邊形，不斷增加邊數，就會發現越來越像是一個圓。這是一種天然的極限逼近，給一個任何數學基礎的人來解釋，他也可以很好地理解。高斯曾經讓人在自己墓碑上刻上一個正十七邊形以此來紀念自己數學生涯的輝煌成就，可後人在刻碑的時候發現這個正十七邊形跟圓實在太像了，於是刻了一個十七角形放上面。
哥廷根大學 高斯墓碑
直觀印象每個人都是容易獲得的，但是想把這樣的印象打磨成一個數學方法可就不是那麼容易了。
劉徽與阿基米德一樣，從正六邊形出發。
如果要列出數學中一個最讓人印象深刻且特別的數，恐怕圓周率π會當仁不讓地排在第一位。這個來自於圓並且最終擴散到各個學科公式中的數字，被人們研究了幾千年，仍然熱度不減。π已經不僅僅是數字了，更像是一種數學文化。
我們都知道π是個無理數，π不能用整數分數來表示的一個數字，這一點上它就遠比一般的有理數更加高冷。再比如，π還是一個超越數，何為超越數呢？就是π不可能是任何整數係數有理多項式方程的解，好像有點繞口。我們見過許許多多複雜的多項式方程，可能次數不定。但是隻要這個多項式方程的係數都是整數，那麼無論你用什麼方法來求解。當然高於或等於五次以上的有理數方程是沒有根式解的，沒有根式解，實際上並不影響我們用別的方法來求最終的解。就算我們有了強大的計算機求解工具，π始終不會是這樣的方程的一個根。這就更加顯得神祕莫測了。總之，一句話，π不是尋常的數字。
人們知道了這個著名且神祕的數字，自然是要對它窮追猛打，企圖發掘出這個數字背後的全部奧祕。所以，探求一個數字的精義，首先你得求出這個數字是多少，然後才能再做打算把。你這麼想，事實上，人們的研究道路也正是這樣進行的。
現在已經沒法確定哪個文明，或者哪個人第一個發現圓周率π了。不過這不重要，根據現在殘存為數不多的數學典籍，在古巴比倫發現的一塊公元前1600年的泥板上記錄著當時把25/8（3.125）作為圓周率。當然這個數字的誤差比較大，不過考慮到當時處於人類的遠古時代，這樣的圓周率數值也是可以滿足需求的了。再後來，埃及人，古希臘人也都開始意識到了圓周率這個常數了。
古巴比倫人在泥板上記錄π
不過說到，世界上第一個完善系統的求圓周率算法還是要數中國數學家劉徽的“割圓術”了。劉徽，中國三國時代著名數學家，大約生活在公元2到3世紀。劉徽以給《九章算術》做注而聞名於世，其實，他還有一項更加出色的工作，那就是通過割圓術來求圓周率π。
中國古代最傑出的數學家 劉徽
其實割圓術，不算是劉徽的首創，比他更早的古希臘大神阿基米德曾經也提出過類似的方法。阿基米德採用內切正多邊形和外接正多邊形來逼近真實圓的情況，原理上當然是正確的，但是操作起來並不十分方便，計算起來也比劉徽的方法更加複雜。這裡就不提阿基米德，只說劉徽的割圓術。
遠古大神 阿基米德
劉徽的方法，其實思想上容易理解。我們把一個正多邊形，不斷增加邊數，就會發現越來越像是一個圓。這是一種天然的極限逼近，給一個任何數學基礎的人來解釋，他也可以很好地理解。高斯曾經讓人在自己墓碑上刻上一個正十七邊形以此來紀念自己數學生涯的輝煌成就，可後人在刻碑的時候發現這個正十七邊形跟圓實在太像了，於是刻了一個十七角形放上面。
哥廷根大學 高斯墓碑
直觀印象每個人都是容易獲得的，但是想把這樣的印象打磨成一個數學方法可就不是那麼容易了。
劉徽與阿基米德一樣，從正六邊形出發。
割圓術初始步驟，正6邊形
劉徽敏銳地發現，這裡從正6邊形，擴展到正12邊形，再到正24邊形，正48邊形的面積關係。比如正12邊形的面積是正6邊形一邊的長度乘以圓半徑，再乘3；正24邊形的面積是正12邊形的邊長乘圓半徑，再乘6。。。這個計算方式有點繞腦袋，如果猛的一看，可能不會立馬就驗證通過，但是要是結合圖形的話，這是顯而易見的。
如果要列出數學中一個最讓人印象深刻且特別的數，恐怕圓周率π會當仁不讓地排在第一位。這個來自於圓並且最終擴散到各個學科公式中的數字，被人們研究了幾千年，仍然熱度不減。π已經不僅僅是數字了，更像是一種數學文化。
我們都知道π是個無理數，π不能用整數分數來表示的一個數字，這一點上它就遠比一般的有理數更加高冷。再比如，π還是一個超越數，何為超越數呢？就是π不可能是任何整數係數有理多項式方程的解，好像有點繞口。我們見過許許多多複雜的多項式方程，可能次數不定。但是隻要這個多項式方程的係數都是整數，那麼無論你用什麼方法來求解。當然高於或等於五次以上的有理數方程是沒有根式解的，沒有根式解，實際上並不影響我們用別的方法來求最終的解。就算我們有了強大的計算機求解工具，π始終不會是這樣的方程的一個根。這就更加顯得神祕莫測了。總之，一句話，π不是尋常的數字。
人們知道了這個著名且神祕的數字，自然是要對它窮追猛打，企圖發掘出這個數字背後的全部奧祕。所以，探求一個數字的精義，首先你得求出這個數字是多少，然後才能再做打算把。你這麼想，事實上，人們的研究道路也正是這樣進行的。
現在已經沒法確定哪個文明，或者哪個人第一個發現圓周率π了。不過這不重要，根據現在殘存為數不多的數學典籍，在古巴比倫發現的一塊公元前1600年的泥板上記錄著當時把25/8（3.125）作為圓周率。當然這個數字的誤差比較大，不過考慮到當時處於人類的遠古時代，這樣的圓周率數值也是可以滿足需求的了。再後來，埃及人，古希臘人也都開始意識到了圓周率這個常數了。
古巴比倫人在泥板上記錄π
不過說到，世界上第一個完善系統的求圓周率算法還是要數中國數學家劉徽的“割圓術”了。劉徽，中國三國時代著名數學家，大約生活在公元2到3世紀。劉徽以給《九章算術》做注而聞名於世，其實，他還有一項更加出色的工作，那就是通過割圓術來求圓周率π。
中國古代最傑出的數學家 劉徽
其實割圓術，不算是劉徽的首創，比他更早的古希臘大神阿基米德曾經也提出過類似的方法。阿基米德採用內切正多邊形和外接正多邊形來逼近真實圓的情況，原理上當然是正確的，但是操作起來並不十分方便，計算起來也比劉徽的方法更加複雜。這裡就不提阿基米德，只說劉徽的割圓術。
遠古大神 阿基米德
劉徽的方法，其實思想上容易理解。我們把一個正多邊形，不斷增加邊數，就會發現越來越像是一個圓。這是一種天然的極限逼近，給一個任何數學基礎的人來解釋，他也可以很好地理解。高斯曾經讓人在自己墓碑上刻上一個正十七邊形以此來紀念自己數學生涯的輝煌成就，可後人在刻碑的時候發現這個正十七邊形跟圓實在太像了，於是刻了一個十七角形放上面。
哥廷根大學 高斯墓碑
直觀印象每個人都是容易獲得的，但是想把這樣的印象打磨成一個數學方法可就不是那麼容易了。
劉徽與阿基米德一樣，從正六邊形出發。
割圓術初始步驟，正6邊形
劉徽敏銳地發現，這裡從正6邊形，擴展到正12邊形，再到正24邊形，正48邊形的面積關係。比如正12邊形的面積是正6邊形一邊的長度乘以圓半徑，再乘3；正24邊形的面積是正12邊形的邊長乘圓半徑，再乘6。。。這個計算方式有點繞腦袋，如果猛的一看，可能不會立馬就驗證通過，但是要是結合圖形的話，這是顯而易見的。
《九章算術》剪影
我們來具體分析一下從正6邊形開始的多邊形面積計算方法：
在正6邊形外圍作一個外接圓，很明顯，由於這是割圓術的第一步，這個正6邊形的面積與外接圓的面積相差不少，大概要差到五分之一左右。按照圖中的方式，在6邊形每條邊對應的弧長上取中點，並且將圓上所有點連接，就作出了正12邊形。於是，
正12邊形面積=正6邊形面積+6個藍色三角形面積。這裡朝著圓的方向邁進了一步，我們再接再厲，使用同樣方法作出正24邊形。於是，
正24邊形面積=正12邊形面積+6個藍色三角形面積+12個黃色三角形面積。又前進了一步，至此，我們已經掌握了割圓術的實際操作方法。倘若我們不辭辛苦，一直下去，我們就將獲得一個無限接近真實圓面積的計算公式。
如果要列出數學中一個最讓人印象深刻且特別的數，恐怕圓周率π會當仁不讓地排在第一位。這個來自於圓並且最終擴散到各個學科公式中的數字，被人們研究了幾千年，仍然熱度不減。π已經不僅僅是數字了，更像是一種數學文化。
我們都知道π是個無理數，π不能用整數分數來表示的一個數字，這一點上它就遠比一般的有理數更加高冷。再比如，π還是一個超越數，何為超越數呢？就是π不可能是任何整數係數有理多項式方程的解，好像有點繞口。我們見過許許多多複雜的多項式方程，可能次數不定。但是隻要這個多項式方程的係數都是整數，那麼無論你用什麼方法來求解。當然高於或等於五次以上的有理數方程是沒有根式解的，沒有根式解，實際上並不影響我們用別的方法來求最終的解。就算我們有了強大的計算機求解工具，π始終不會是這樣的方程的一個根。這就更加顯得神祕莫測了。總之，一句話，π不是尋常的數字。
人們知道了這個著名且神祕的數字，自然是要對它窮追猛打，企圖發掘出這個數字背後的全部奧祕。所以，探求一個數字的精義，首先你得求出這個數字是多少，然後才能再做打算把。你這麼想，事實上，人們的研究道路也正是這樣進行的。
現在已經沒法確定哪個文明，或者哪個人第一個發現圓周率π了。不過這不重要，根據現在殘存為數不多的數學典籍，在古巴比倫發現的一塊公元前1600年的泥板上記錄著當時把25/8（3.125）作為圓周率。當然這個數字的誤差比較大，不過考慮到當時處於人類的遠古時代，這樣的圓周率數值也是可以滿足需求的了。再後來，埃及人，古希臘人也都開始意識到了圓周率這個常數了。
古巴比倫人在泥板上記錄π
不過說到，世界上第一個完善系統的求圓周率算法還是要數中國數學家劉徽的“割圓術”了。劉徽，中國三國時代著名數學家，大約生活在公元2到3世紀。劉徽以給《九章算術》做注而聞名於世，其實，他還有一項更加出色的工作，那就是通過割圓術來求圓周率π。
中國古代最傑出的數學家 劉徽
其實割圓術，不算是劉徽的首創，比他更早的古希臘大神阿基米德曾經也提出過類似的方法。阿基米德採用內切正多邊形和外接正多邊形來逼近真實圓的情況，原理上當然是正確的，但是操作起來並不十分方便，計算起來也比劉徽的方法更加複雜。這裡就不提阿基米德，只說劉徽的割圓術。
遠古大神 阿基米德
劉徽的方法，其實思想上容易理解。我們把一個正多邊形，不斷增加邊數，就會發現越來越像是一個圓。這是一種天然的極限逼近，給一個任何數學基礎的人來解釋，他也可以很好地理解。高斯曾經讓人在自己墓碑上刻上一個正十七邊形以此來紀念自己數學生涯的輝煌成就，可後人在刻碑的時候發現這個正十七邊形跟圓實在太像了，於是刻了一個十七角形放上面。
哥廷根大學 高斯墓碑
直觀印象每個人都是容易獲得的，但是想把這樣的印象打磨成一個數學方法可就不是那麼容易了。
劉徽與阿基米德一樣，從正六邊形出發。
割圓術初始步驟，正6邊形
劉徽敏銳地發現，這裡從正6邊形，擴展到正12邊形，再到正24邊形，正48邊形的面積關係。比如正12邊形的面積是正6邊形一邊的長度乘以圓半徑，再乘3；正24邊形的面積是正12邊形的邊長乘圓半徑，再乘6。。。這個計算方式有點繞腦袋，如果猛的一看，可能不會立馬就驗證通過，但是要是結合圖形的話，這是顯而易見的。
《九章算術》剪影
我們來具體分析一下從正6邊形開始的多邊形面積計算方法：
在正6邊形外圍作一個外接圓，很明顯，由於這是割圓術的第一步，這個正6邊形的面積與外接圓的面積相差不少，大概要差到五分之一左右。按照圖中的方式，在6邊形每條邊對應的弧長上取中點，並且將圓上所有點連接，就作出了正12邊形。於是，
正12邊形面積=正6邊形面積+6個藍色三角形面積。這裡朝著圓的方向邁進了一步，我們再接再厲，使用同樣方法作出正24邊形。於是，
正24邊形面積=正12邊形面積+6個藍色三角形面積+12個黃色三角形面積。又前進了一步，至此，我們已經掌握了割圓術的實際操作方法。倘若我們不辭辛苦，一直下去，我們就將獲得一個無限接近真實圓面積的計算公式。
我們重新用數學語言來描述一下那個令人印象深刻的直觀感受。
正12邊形面積<正24邊形面積<正48邊形面積<正96邊形<正6×2N<...<圓。
仔細看這個思路不就是極限思想的具體形式麼，只不過這裡只是從左邊靠近，尚且不算嚴謹，因此還必須給這個正多邊形面積找一個右極限，這裡劉徽又給出了很好的方法。
如果要列出數學中一個最讓人印象深刻且特別的數，恐怕圓周率π會當仁不讓地排在第一位。這個來自於圓並且最終擴散到各個學科公式中的數字，被人們研究了幾千年，仍然熱度不減。π已經不僅僅是數字了，更像是一種數學文化。
我們都知道π是個無理數，π不能用整數分數來表示的一個數字，這一點上它就遠比一般的有理數更加高冷。再比如，π還是一個超越數，何為超越數呢？就是π不可能是任何整數係數有理多項式方程的解，好像有點繞口。我們見過許許多多複雜的多項式方程，可能次數不定。但是隻要這個多項式方程的係數都是整數，那麼無論你用什麼方法來求解。當然高於或等於五次以上的有理數方程是沒有根式解的，沒有根式解，實際上並不影響我們用別的方法來求最終的解。就算我們有了強大的計算機求解工具，π始終不會是這樣的方程的一個根。這就更加顯得神祕莫測了。總之，一句話，π不是尋常的數字。
人們知道了這個著名且神祕的數字，自然是要對它窮追猛打，企圖發掘出這個數字背後的全部奧祕。所以，探求一個數字的精義，首先你得求出這個數字是多少，然後才能再做打算把。你這麼想，事實上，人們的研究道路也正是這樣進行的。
現在已經沒法確定哪個文明，或者哪個人第一個發現圓周率π了。不過這不重要，根據現在殘存為數不多的數學典籍，在古巴比倫發現的一塊公元前1600年的泥板上記錄著當時把25/8（3.125）作為圓周率。當然這個數字的誤差比較大，不過考慮到當時處於人類的遠古時代，這樣的圓周率數值也是可以滿足需求的了。再後來，埃及人，古希臘人也都開始意識到了圓周率這個常數了。
古巴比倫人在泥板上記錄π
不過說到，世界上第一個完善系統的求圓周率算法還是要數中國數學家劉徽的“割圓術”了。劉徽，中國三國時代著名數學家，大約生活在公元2到3世紀。劉徽以給《九章算術》做注而聞名於世，其實，他還有一項更加出色的工作，那就是通過割圓術來求圓周率π。
中國古代最傑出的數學家 劉徽
其實割圓術，不算是劉徽的首創，比他更早的古希臘大神阿基米德曾經也提出過類似的方法。阿基米德採用內切正多邊形和外接正多邊形來逼近真實圓的情況，原理上當然是正確的，但是操作起來並不十分方便，計算起來也比劉徽的方法更加複雜。這裡就不提阿基米德，只說劉徽的割圓術。
遠古大神 阿基米德
劉徽的方法，其實思想上容易理解。我們把一個正多邊形，不斷增加邊數，就會發現越來越像是一個圓。這是一種天然的極限逼近，給一個任何數學基礎的人來解釋，他也可以很好地理解。高斯曾經讓人在自己墓碑上刻上一個正十七邊形以此來紀念自己數學生涯的輝煌成就，可後人在刻碑的時候發現這個正十七邊形跟圓實在太像了，於是刻了一個十七角形放上面。
哥廷根大學 高斯墓碑
直觀印象每個人都是容易獲得的，但是想把這樣的印象打磨成一個數學方法可就不是那麼容易了。
劉徽與阿基米德一樣，從正六邊形出發。
割圓術初始步驟，正6邊形
劉徽敏銳地發現，這裡從正6邊形，擴展到正12邊形，再到正24邊形，正48邊形的面積關係。比如正12邊形的面積是正6邊形一邊的長度乘以圓半徑，再乘3；正24邊形的面積是正12邊形的邊長乘圓半徑，再乘6。。。這個計算方式有點繞腦袋，如果猛的一看，可能不會立馬就驗證通過，但是要是結合圖形的話，這是顯而易見的。
《九章算術》剪影
我們來具體分析一下從正6邊形開始的多邊形面積計算方法：
在正6邊形外圍作一個外接圓，很明顯，由於這是割圓術的第一步，這個正6邊形的面積與外接圓的面積相差不少，大概要差到五分之一左右。按照圖中的方式，在6邊形每條邊對應的弧長上取中點，並且將圓上所有點連接，就作出了正12邊形。於是，
正12邊形面積=正6邊形面積+6個藍色三角形面積。這裡朝著圓的方向邁進了一步，我們再接再厲，使用同樣方法作出正24邊形。於是，
正24邊形面積=正12邊形面積+6個藍色三角形面積+12個黃色三角形面積。又前進了一步，至此，我們已經掌握了割圓術的實際操作方法。倘若我們不辭辛苦，一直下去，我們就將獲得一個無限接近真實圓面積的計算公式。
我們重新用數學語言來描述一下那個令人印象深刻的直觀感受。
正12邊形面積<正24邊形面積<正48邊形面積<正96邊形<正6×2N<...<圓。
仔細看這個思路不就是極限思想的具體形式麼，只不過這裡只是從左邊靠近，尚且不算嚴謹，因此還必須給這個正多邊形面積找一個右極限，這裡劉徽又給出了很好的方法。
劉徽 割圓術中圓的右極限多邊形
依然從正6邊形開始，劉徽給正6邊形的邊向下作了一個高度為d的矩形，這裡的d劉徽命名為“餘徑”。把這個矩形的邊首尾連接，就會成為一個更大的正多邊形，顯然，這個更大的正多邊形面積始終比圓的面積大。如果我們計算到了正N邊形的話，N很大時，這個外接矩形ABCD的面積就會越來越小，而這個外接大多邊形的面積也就會越來越接近圓。
外接正N邊形的面積=正6×2N邊形+6×2N×d×L
右極限也確定了，於是完整的逼近公式也就出爐了。
這裡還用到了一個在極限裡很重要的定理，“夾逼定理”,好像聽起來不是很動聽。如果一個連續函數值的左右極限相等，那麼這個函數值就等於左右極限值。
如果要列出數學中一個最讓人印象深刻且特別的數，恐怕圓周率π會當仁不讓地排在第一位。這個來自於圓並且最終擴散到各個學科公式中的數字，被人們研究了幾千年，仍然熱度不減。π已經不僅僅是數字了，更像是一種數學文化。
我們都知道π是個無理數，π不能用整數分數來表示的一個數字，這一點上它就遠比一般的有理數更加高冷。再比如，π還是一個超越數，何為超越數呢？就是π不可能是任何整數係數有理多項式方程的解，好像有點繞口。我們見過許許多多複雜的多項式方程，可能次數不定。但是隻要這個多項式方程的係數都是整數，那麼無論你用什麼方法來求解。當然高於或等於五次以上的有理數方程是沒有根式解的，沒有根式解，實際上並不影響我們用別的方法來求最終的解。就算我們有了強大的計算機求解工具，π始終不會是這樣的方程的一個根。這就更加顯得神祕莫測了。總之，一句話，π不是尋常的數字。
人們知道了這個著名且神祕的數字，自然是要對它窮追猛打，企圖發掘出這個數字背後的全部奧祕。所以，探求一個數字的精義，首先你得求出這個數字是多少，然後才能再做打算把。你這麼想，事實上，人們的研究道路也正是這樣進行的。
現在已經沒法確定哪個文明，或者哪個人第一個發現圓周率π了。不過這不重要，根據現在殘存為數不多的數學典籍，在古巴比倫發現的一塊公元前1600年的泥板上記錄著當時把25/8（3.125）作為圓周率。當然這個數字的誤差比較大，不過考慮到當時處於人類的遠古時代，這樣的圓周率數值也是可以滿足需求的了。再後來，埃及人，古希臘人也都開始意識到了圓周率這個常數了。
古巴比倫人在泥板上記錄π
不過說到，世界上第一個完善系統的求圓周率算法還是要數中國數學家劉徽的“割圓術”了。劉徽，中國三國時代著名數學家，大約生活在公元2到3世紀。劉徽以給《九章算術》做注而聞名於世，其實，他還有一項更加出色的工作，那就是通過割圓術來求圓周率π。
中國古代最傑出的數學家 劉徽
其實割圓術，不算是劉徽的首創，比他更早的古希臘大神阿基米德曾經也提出過類似的方法。阿基米德採用內切正多邊形和外接正多邊形來逼近真實圓的情況，原理上當然是正確的，但是操作起來並不十分方便，計算起來也比劉徽的方法更加複雜。這裡就不提阿基米德，只說劉徽的割圓術。
遠古大神 阿基米德
劉徽的方法，其實思想上容易理解。我們把一個正多邊形，不斷增加邊數，就會發現越來越像是一個圓。這是一種天然的極限逼近，給一個任何數學基礎的人來解釋，他也可以很好地理解。高斯曾經讓人在自己墓碑上刻上一個正十七邊形以此來紀念自己數學生涯的輝煌成就，可後人在刻碑的時候發現這個正十七邊形跟圓實在太像了，於是刻了一個十七角形放上面。
哥廷根大學 高斯墓碑
直觀印象每個人都是容易獲得的，但是想把這樣的印象打磨成一個數學方法可就不是那麼容易了。
劉徽與阿基米德一樣，從正六邊形出發。
割圓術初始步驟，正6邊形
劉徽敏銳地發現，這裡從正6邊形，擴展到正12邊形，再到正24邊形，正48邊形的面積關係。比如正12邊形的面積是正6邊形一邊的長度乘以圓半徑，再乘3；正24邊形的面積是正12邊形的邊長乘圓半徑，再乘6。。。這個計算方式有點繞腦袋，如果猛的一看，可能不會立馬就驗證通過，但是要是結合圖形的話，這是顯而易見的。
《九章算術》剪影
我們來具體分析一下從正6邊形開始的多邊形面積計算方法：
在正6邊形外圍作一個外接圓，很明顯，由於這是割圓術的第一步，這個正6邊形的面積與外接圓的面積相差不少，大概要差到五分之一左右。按照圖中的方式，在6邊形每條邊對應的弧長上取中點，並且將圓上所有點連接，就作出了正12邊形。於是，
正12邊形面積=正6邊形面積+6個藍色三角形面積。這裡朝著圓的方向邁進了一步，我們再接再厲，使用同樣方法作出正24邊形。於是，
正24邊形面積=正12邊形面積+6個藍色三角形面積+12個黃色三角形面積。又前進了一步，至此，我們已經掌握了割圓術的實際操作方法。倘若我們不辭辛苦，一直下去，我們就將獲得一個無限接近真實圓面積的計算公式。
我們重新用數學語言來描述一下那個令人印象深刻的直觀感受。
正12邊形面積<正24邊形面積<正48邊形面積<正96邊形<正6×2N<...<圓。
仔細看這個思路不就是極限思想的具體形式麼，只不過這裡只是從左邊靠近，尚且不算嚴謹，因此還必須給這個正多邊形面積找一個右極限，這裡劉徽又給出了很好的方法。
劉徽 割圓術中圓的右極限多邊形
依然從正6邊形開始，劉徽給正6邊形的邊向下作了一個高度為d的矩形，這裡的d劉徽命名為“餘徑”。把這個矩形的邊首尾連接，就會成為一個更大的正多邊形，顯然，這個更大的正多邊形面積始終比圓的面積大。如果我們計算到了正N邊形的話，N很大時，這個外接矩形ABCD的面積就會越來越小，而這個外接大多邊形的面積也就會越來越接近圓。
外接正N邊形的面積=正6×2N邊形+6×2N×d×L
右極限也確定了，於是完整的逼近公式也就出爐了。
這裡還用到了一個在極限裡很重要的定理，“夾逼定理”,好像聽起來不是很動聽。如果一個連續函數值的左右極限相等，那麼這個函數值就等於左右極限值。
有了這個理論依據，下面就可以真正開幹了。先別急著動手，我們可以想象一下這樣的工作量有多大，在那個開方運算都要算半天的古代，從正6邊形擴展到正12邊形，計算量就恐怖起來。計算力空前匱乏，這也是古代數學跟現代數學的一個根本性區別。劉徽自己計算到了正192邊形，得出了圓周率的上下限在3.141024 與 3.142704之間，並且以157/50=3.1416來作為圓周率的常用值。雖然這個值不甚精確，但是劉徽的工作重在起割圓術的創造上。
如果要列出數學中一個最讓人印象深刻且特別的數，恐怕圓周率π會當仁不讓地排在第一位。這個來自於圓並且最終擴散到各個學科公式中的數字，被人們研究了幾千年，仍然熱度不減。π已經不僅僅是數字了，更像是一種數學文化。
我們都知道π是個無理數，π不能用整數分數來表示的一個數字，這一點上它就遠比一般的有理數更加高冷。再比如，π還是一個超越數，何為超越數呢？就是π不可能是任何整數係數有理多項式方程的解，好像有點繞口。我們見過許許多多複雜的多項式方程，可能次數不定。但是隻要這個多項式方程的係數都是整數，那麼無論你用什麼方法來求解。當然高於或等於五次以上的有理數方程是沒有根式解的，沒有根式解，實際上並不影響我們用別的方法來求最終的解。就算我們有了強大的計算機求解工具，π始終不會是這樣的方程的一個根。這就更加顯得神祕莫測了。總之，一句話，π不是尋常的數字。
人們知道了這個著名且神祕的數字，自然是要對它窮追猛打，企圖發掘出這個數字背後的全部奧祕。所以，探求一個數字的精義，首先你得求出這個數字是多少，然後才能再做打算把。你這麼想，事實上，人們的研究道路也正是這樣進行的。
現在已經沒法確定哪個文明，或者哪個人第一個發現圓周率π了。不過這不重要，根據現在殘存為數不多的數學典籍，在古巴比倫發現的一塊公元前1600年的泥板上記錄著當時把25/8（3.125）作為圓周率。當然這個數字的誤差比較大，不過考慮到當時處於人類的遠古時代，這樣的圓周率數值也是可以滿足需求的了。再後來，埃及人，古希臘人也都開始意識到了圓周率這個常數了。
古巴比倫人在泥板上記錄π
不過說到，世界上第一個完善系統的求圓周率算法還是要數中國數學家劉徽的“割圓術”了。劉徽，中國三國時代著名數學家，大約生活在公元2到3世紀。劉徽以給《九章算術》做注而聞名於世，其實，他還有一項更加出色的工作，那就是通過割圓術來求圓周率π。
中國古代最傑出的數學家 劉徽
其實割圓術，不算是劉徽的首創，比他更早的古希臘大神阿基米德曾經也提出過類似的方法。阿基米德採用內切正多邊形和外接正多邊形來逼近真實圓的情況，原理上當然是正確的，但是操作起來並不十分方便，計算起來也比劉徽的方法更加複雜。這裡就不提阿基米德，只說劉徽的割圓術。
遠古大神 阿基米德
劉徽的方法，其實思想上容易理解。我們把一個正多邊形，不斷增加邊數，就會發現越來越像是一個圓。這是一種天然的極限逼近，給一個任何數學基礎的人來解釋，他也可以很好地理解。高斯曾經讓人在自己墓碑上刻上一個正十七邊形以此來紀念自己數學生涯的輝煌成就，可後人在刻碑的時候發現這個正十七邊形跟圓實在太像了，於是刻了一個十七角形放上面。
哥廷根大學 高斯墓碑
直觀印象每個人都是容易獲得的，但是想把這樣的印象打磨成一個數學方法可就不是那麼容易了。
劉徽與阿基米德一樣，從正六邊形出發。
割圓術初始步驟，正6邊形
劉徽敏銳地發現，這裡從正6邊形，擴展到正12邊形，再到正24邊形，正48邊形的面積關係。比如正12邊形的面積是正6邊形一邊的長度乘以圓半徑，再乘3；正24邊形的面積是正12邊形的邊長乘圓半徑，再乘6。。。這個計算方式有點繞腦袋，如果猛的一看，可能不會立馬就驗證通過，但是要是結合圖形的話，這是顯而易見的。
《九章算術》剪影
我們來具體分析一下從正6邊形開始的多邊形面積計算方法：
在正6邊形外圍作一個外接圓，很明顯，由於這是割圓術的第一步，這個正6邊形的面積與外接圓的面積相差不少，大概要差到五分之一左右。按照圖中的方式，在6邊形每條邊對應的弧長上取中點，並且將圓上所有點連接，就作出了正12邊形。於是，
正12邊形面積=正6邊形面積+6個藍色三角形面積。這裡朝著圓的方向邁進了一步，我們再接再厲，使用同樣方法作出正24邊形。於是，
正24邊形面積=正12邊形面積+6個藍色三角形面積+12個黃色三角形面積。又前進了一步，至此，我們已經掌握了割圓術的實際操作方法。倘若我們不辭辛苦，一直下去，我們就將獲得一個無限接近真實圓面積的計算公式。
我們重新用數學語言來描述一下那個令人印象深刻的直觀感受。
正12邊形面積<正24邊形面積<正48邊形面積<正96邊形<正6×2N<...<圓。
仔細看這個思路不就是極限思想的具體形式麼，只不過這裡只是從左邊靠近，尚且不算嚴謹，因此還必須給這個正多邊形面積找一個右極限，這裡劉徽又給出了很好的方法。
劉徽 割圓術中圓的右極限多邊形
依然從正6邊形開始，劉徽給正6邊形的邊向下作了一個高度為d的矩形，這裡的d劉徽命名為“餘徑”。把這個矩形的邊首尾連接，就會成為一個更大的正多邊形，顯然，這個更大的正多邊形面積始終比圓的面積大。如果我們計算到了正N邊形的話，N很大時，這個外接矩形ABCD的面積就會越來越小，而這個外接大多邊形的面積也就會越來越接近圓。
外接正N邊形的面積=正6×2N邊形+6×2N×d×L
右極限也確定了，於是完整的逼近公式也就出爐了。
這裡還用到了一個在極限裡很重要的定理，“夾逼定理”,好像聽起來不是很動聽。如果一個連續函數值的左右極限相等，那麼這個函數值就等於左右極限值。
有了這個理論依據，下面就可以真正開幹了。先別急著動手，我們可以想象一下這樣的工作量有多大，在那個開方運算都要算半天的古代，從正6邊形擴展到正12邊形，計算量就恐怖起來。計算力空前匱乏，這也是古代數學跟現代數學的一個根本性區別。劉徽自己計算到了正192邊形，得出了圓周率的上下限在3.141024 與 3.142704之間，並且以157/50=3.1416來作為圓周率的常用值。雖然這個值不甚精確，但是劉徽的工作重在起割圓術的創造上。
祖沖之大神 計算圓周率
我國古代有一個數學家是跟圓周率緊緊連在一起的，那就是祖沖之。祖沖之，通過超級不懈的努力，計算到了12288邊形得出了一個空前精確的圓周率值，3.14159126和3.1415927之間。因為這項工作的確在世界上領先了一千多年，所以祖沖之格外受到追捧。殊不知，祖沖之並沒有創造出新的東西來，他是沿用了劉徽的割圓術，一步步深耕下去，用無窮無盡的計算力來得到這個巔峰的成果。劉徽給出了算法，祖沖之很好地依照著算法執行得出了一個很好的結果。從這點來看，劉徽的工作顯然要重要的多，他用真實可行的方法，逼迫神祕的圓周率現身。
如果要列出數學中一個最讓人印象深刻且特別的數，恐怕圓周率π會當仁不讓地排在第一位。這個來自於圓並且最終擴散到各個學科公式中的數字，被人們研究了幾千年，仍然熱度不減。π已經不僅僅是數字了，更像是一種數學文化。
我們都知道π是個無理數，π不能用整數分數來表示的一個數字，這一點上它就遠比一般的有理數更加高冷。再比如，π還是一個超越數，何為超越數呢？就是π不可能是任何整數係數有理多項式方程的解，好像有點繞口。我們見過許許多多複雜的多項式方程，可能次數不定。但是隻要這個多項式方程的係數都是整數，那麼無論你用什麼方法來求解。當然高於或等於五次以上的有理數方程是沒有根式解的，沒有根式解，實際上並不影響我們用別的方法來求最終的解。就算我們有了強大的計算機求解工具，π始終不會是這樣的方程的一個根。這就更加顯得神祕莫測了。總之，一句話，π不是尋常的數字。
人們知道了這個著名且神祕的數字，自然是要對它窮追猛打，企圖發掘出這個數字背後的全部奧祕。所以，探求一個數字的精義，首先你得求出這個數字是多少，然後才能再做打算把。你這麼想，事實上，人們的研究道路也正是這樣進行的。
現在已經沒法確定哪個文明，或者哪個人第一個發現圓周率π了。不過這不重要，根據現在殘存為數不多的數學典籍，在古巴比倫發現的一塊公元前1600年的泥板上記錄著當時把25/8（3.125）作為圓周率。當然這個數字的誤差比較大，不過考慮到當時處於人類的遠古時代，這樣的圓周率數值也是可以滿足需求的了。再後來，埃及人，古希臘人也都開始意識到了圓周率這個常數了。
古巴比倫人在泥板上記錄π
不過說到，世界上第一個完善系統的求圓周率算法還是要數中國數學家劉徽的“割圓術”了。劉徽，中國三國時代著名數學家，大約生活在公元2到3世紀。劉徽以給《九章算術》做注而聞名於世，其實，他還有一項更加出色的工作，那就是通過割圓術來求圓周率π。
中國古代最傑出的數學家 劉徽
其實割圓術，不算是劉徽的首創，比他更早的古希臘大神阿基米德曾經也提出過類似的方法。阿基米德採用內切正多邊形和外接正多邊形來逼近真實圓的情況，原理上當然是正確的，但是操作起來並不十分方便，計算起來也比劉徽的方法更加複雜。這裡就不提阿基米德，只說劉徽的割圓術。
遠古大神 阿基米德
劉徽的方法，其實思想上容易理解。我們把一個正多邊形，不斷增加邊數，就會發現越來越像是一個圓。這是一種天然的極限逼近，給一個任何數學基礎的人來解釋，他也可以很好地理解。高斯曾經讓人在自己墓碑上刻上一個正十七邊形以此來紀念自己數學生涯的輝煌成就，可後人在刻碑的時候發現這個正十七邊形跟圓實在太像了，於是刻了一個十七角形放上面。
哥廷根大學 高斯墓碑
直觀印象每個人都是容易獲得的，但是想把這樣的印象打磨成一個數學方法可就不是那麼容易了。
劉徽與阿基米德一樣，從正六邊形出發。
割圓術初始步驟，正6邊形
劉徽敏銳地發現，這裡從正6邊形，擴展到正12邊形，再到正24邊形，正48邊形的面積關係。比如正12邊形的面積是正6邊形一邊的長度乘以圓半徑，再乘3；正24邊形的面積是正12邊形的邊長乘圓半徑，再乘6。。。這個計算方式有點繞腦袋，如果猛的一看，可能不會立馬就驗證通過，但是要是結合圖形的話，這是顯而易見的。
《九章算術》剪影
我們來具體分析一下從正6邊形開始的多邊形面積計算方法：
在正6邊形外圍作一個外接圓，很明顯，由於這是割圓術的第一步，這個正6邊形的面積與外接圓的面積相差不少，大概要差到五分之一左右。按照圖中的方式，在6邊形每條邊對應的弧長上取中點，並且將圓上所有點連接，就作出了正12邊形。於是，
正12邊形面積=正6邊形面積+6個藍色三角形面積。這裡朝著圓的方向邁進了一步，我們再接再厲，使用同樣方法作出正24邊形。於是，
正24邊形面積=正12邊形面積+6個藍色三角形面積+12個黃色三角形面積。又前進了一步，至此，我們已經掌握了割圓術的實際操作方法。倘若我們不辭辛苦，一直下去，我們就將獲得一個無限接近真實圓面積的計算公式。
我們重新用數學語言來描述一下那個令人印象深刻的直觀感受。
正12邊形面積<正24邊形面積<正48邊形面積<正96邊形<正6×2N<...<圓。
仔細看這個思路不就是極限思想的具體形式麼，只不過這裡只是從左邊靠近，尚且不算嚴謹，因此還必須給這個正多邊形面積找一個右極限，這裡劉徽又給出了很好的方法。
劉徽 割圓術中圓的右極限多邊形
依然從正6邊形開始，劉徽給正6邊形的邊向下作了一個高度為d的矩形，這裡的d劉徽命名為“餘徑”。把這個矩形的邊首尾連接，就會成為一個更大的正多邊形，顯然，這個更大的正多邊形面積始終比圓的面積大。如果我們計算到了正N邊形的話，N很大時，這個外接矩形ABCD的面積就會越來越小，而這個外接大多邊形的面積也就會越來越接近圓。
外接正N邊形的面積=正6×2N邊形+6×2N×d×L
右極限也確定了，於是完整的逼近公式也就出爐了。
這裡還用到了一個在極限裡很重要的定理，“夾逼定理”,好像聽起來不是很動聽。如果一個連續函數值的左右極限相等，那麼這個函數值就等於左右極限值。
有了這個理論依據，下面就可以真正開幹了。先別急著動手，我們可以想象一下這樣的工作量有多大，在那個開方運算都要算半天的古代，從正6邊形擴展到正12邊形，計算量就恐怖起來。計算力空前匱乏，這也是古代數學跟現代數學的一個根本性區別。劉徽自己計算到了正192邊形，得出了圓周率的上下限在3.141024 與 3.142704之間，並且以157/50=3.1416來作為圓周率的常用值。雖然這個值不甚精確，但是劉徽的工作重在起割圓術的創造上。
祖沖之大神 計算圓周率
我國古代有一個數學家是跟圓周率緊緊連在一起的，那就是祖沖之。祖沖之，通過超級不懈的努力，計算到了12288邊形得出了一個空前精確的圓周率值，3.14159126和3.1415927之間。因為這項工作的確在世界上領先了一千多年，所以祖沖之格外受到追捧。殊不知，祖沖之並沒有創造出新的東西來，他是沿用了劉徽的割圓術，一步步深耕下去，用無窮無盡的計算力來得到這個巔峰的成果。劉徽給出了算法，祖沖之很好地依照著算法執行得出了一個很好的結果。從這點來看，劉徽的工作顯然要重要的多，他用真實可行的方法，逼迫神祕的圓周率現身。
拉馬努金創造過很多求π公式
在相當長的一段時間裡，割圓術都是求圓周率的不二法門。由於古代數學的限制，人們在求解圓周率的時候，始終沒能夠逃脫圓的束縛。所以求解過程計算反覆，且效率極低。一直到近代微積分和概率論的發展，才將π真正釋放開來。離開了圓的限制，π開始在更廣闊的數學海洋裡翻江倒海。人們可以用無窮級數，三角函數，甚至概率論的方法來計算圓周率了。
人們也發現了收斂速度極快的求π公式，甚至一步計算就可以獲得十幾位精確數值。
對於圓周率π的研究，割圓術只是一個開始。
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