無限不循環小數，統稱為無理數。√2的出現，誕生了人類進步史上的“第一次數學危機”。

首先，簡單回顧下“數”的分類

在數學上，任何一個數都可以表示為複數z=a+bi的形式。其中，a為實部，b為虛部(i為虛數單位)。

當b=0時，z=a為實數；

當a=0時，z=bi為純虛數；

當a、b均不為0時，z=a+bi為複數。

而實數，又分為有理數和無理數。有理數比較好理解，頭疼的是無理數。√2、圓周率π、自然常數e等都是常見的無理數。而正是因為無理數的發現，誕生了人類進步史上的“第一次數學危機”。

(關於第一次數學危機的故事，將在文末簡單講述。)

無理數讓人頭疼的地方，不單單是它的“無限”，更主要的是它的“不循環”。像圓周率π，藉助電腦已計算出小數點後10萬億位，也找不到其小數點後數字出現的任何規律。

無理數√2是由數學家畢達哥拉斯的徒弟希伯索斯，在研究邊長為1的等腰直角三角形斜邊長時發現的。

那麼，我們藉助等腰直角三角形，來談一談√2為什麼會出現無限不循環這一結論。

√2的無限不循環論證

我們從兩個方面來進行論證，第一步是先用逼近法得出√2的近似值，第二步是用反證法證明√2是無理數。由此得出，√2是無限不循環小數的結論。

(接下來可能比較枯燥，沒有太多的配圖，有勞耐心閱讀，用時約5分鐘)

第一步，逼近法，求得近似值

勾股定理 c² = a² + b²

設某直角三角形為等腰直角三角形，且直角邊長為1

則 a = b = 1，所以 c² = 1² + 1² = 2，得 c =√2

1² = 1 ，2² = 4 ，c² = 2

則 1 ＜ c ＜ 2 ，即 1 ＜√2 ＜ 2

再取1和2的中間數1.5，1.5² = 2.25 ＞ 2，得√2 ＜ 1.5

當取 1.4² = 1.96 ＜ 2，得1.4 ＜√2 ＜ 1.5

當取 1.414212² ＜√2 ＜ 1.414214²；

當取 1.414213561² ＜√2 ＜ 1.414213563²；

依此類推，可得到√2 ≈ 1.4142135623730950488...

那麼，√2 的小數點後位數會是有限的嗎？即使無限，會出現循環嗎？這將是我們下一步需要做的事情。

(下圖與本文關聯度不大，佔個位置避免眼花，有興趣的可以拓展瞭解下)

第二步，反證法，證明√2是無限不循環小數

首先，我們確定的是，√2為正數，更是一個實數。

另外，我們知道實數的一個特性：

奇數 x 奇數 = 奇數 ；

偶數 x 偶數 = 偶數 ；

奇數 x 偶數 = 偶數 。

雖然我們較難輕易直接證明√2無限不循環，但可以通過反證法，假設√2為有限小數，或無限循環小數，即√2為有理數。

任何一個有理數，都可以表示成分數形式，即a/b，其中a、b均為整數。

所以，設√2 = a/b ，且a、b已互質(沒有公約數)，

則 (√2)² = (a/b)²

⇒ 2 = a²/b² ⇒ 2b² = a²

2b²必為偶數 ⇒ a²為偶數

a x a = 偶數 ⇒ a為偶數

a為偶數 ⇒ a²必能被4整除

那麼，1/2a²仍為偶數

再由(√2)² = (a/b)² ⇒ b² = a²/2，則b²也是偶數

b x b = 偶數 ⇒ b為偶數

a為偶數，b為偶數，說明a、b還有公約數

這與“a、b已互質”的前提矛盾

若說a、b已互質的前提假設錯誤，那麼a、b可以化簡直至最終互質。顯然，這個假設前提不是矛盾的關鍵點所在。

那麼，這個矛盾的關鍵點，最終還只能是“設√2 = a/b”不成立。即√2不是有理數。

作為實數的√2不是有理數，那麼√2就只能是無理數，即無限不循環小數。

如上的反證法，是較常用的“奇偶分析法”。當然，證明√2是無理數(無限不循環小數)的方法不限於此，其他還有如“尾數證明法”，“連分數法”，“構圖法”等。如有其他更好證明方法的夥伴，歡迎下方評論區留言討論。

第一次數學危機(簡述)

約公元前５世紀，有著“數學教父”之稱的畢達哥拉斯，發現了“直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方”，西方稱之為“畢達哥拉斯定理”，在中國稱之為“勾股定理”(最早約公元前1100年，西周初年的商高提出了“勾三股四弦五”)。

畢達哥拉斯經長期研究，各地宣講、收徒，雖然過程不乏艱辛，但最終名聲顯赫，非常權威。畢達哥拉斯學派曾流傳一句名言，“萬物畢數”。他們所說的“數”，按現今分類只是“有理數”範疇。

他們認為，世上萬物都可以用數來表達，其中“整數”是上帝創造的，完美無缺。而分數是兩個整數的比。除了整數和分數外，世上不可能再有其他什麼數了。

然而，畢達哥拉斯的一個學生希伯索斯，在研究邊長為1的正方形時，發現其對角線長√2既不是整數，也不是分數，而是介於1和2之間的一個數。

1和2之間顯然不再有整數，那麼√2是不是介於1和2之間的某個分數呢？

即：3/2；4/3；5/3，5/4；6/4，6/5；7/4，7/5，7/6；8/5，8/6，8/7；9/5，......當中的一個？

然後，他分別求證這些數，看有沒有平方等於2的，結果可想而知。

......

希伯索斯的發現，第一次向人們揭示了有理數系的缺陷。證明了它不能同連續的無限直線等同看待，有理數並沒有佈滿數軸上的點，在數軸上存在著不能用有理數表示的“孔隙”。

誘發第一次數學危機的一個間接因素是之後“芝諾悖論”，它更增加了數學家們的擔憂：數學作為一門精確的科學是否還有可能？

直至約公元前370年，這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。也正是由於第一次數學危機的發生和解決，希臘數學走上完全不同的發展道路，為世界數學作出了另一種傑出的貢獻。

這個問題我來回答一下。

首先這問題涉及數的表示（representation），十進制是人類較習慣了的表示形式了（雖說也有不少如二、十二、二十、六十等進制之類的，分數和無理數進制暫時僅對數學工作者或數學家開放😂。注意：無理數不像素數，應該是與進制有關的，不屬於數的本質屬性）。

√2是無理數，這是相對整數如十進制，如果是√2進制的話，那√2就是“10”，這顯然不是無理數。（注：無理數甚至分數是否可以或適宜於作為表示數的“位進制”的“基”即base值得商榷）

好了，說十進制的√2吧。其實開平方是有試算程序算法的，但是√2的這個算法是否有“終點”不得而知，因此，數學家們便默認了它是無理數（即無限不循環小數）。除了平方數自然數之外的所有其他自然數都是這種情況，其開平方都被認為是無理數的。當然，這樣提出無理數是很滑稽的。😂

√2是無理數，是因為數間的整除性方面出現了問題。不知道現代計算機已經計算出√2的多少位了，據說π已經計算到了天文數字位了。

開立方、開n次方也是如此。。。

。。。。。。

😂☕️

我想從以下幾個角度為大家講解一下這個問題，供大家參考。

尺規作圖

這個圖就很有意思，說明了等腰直角三角形的斜邊與其直角邊是不存在最大公度線段的，也就是等腰直角三角形中三角斜邊與直角邊是不能用整數比表示的。

圖中，AD=AC,過點D做DE垂直於AB交CB於點E。角ECD=角EDC,三角形EDB也是等腰直角三角形，所以線段CE=ED=BD(也就是相當於用圓規進行了截取)，於是問題轉化成為求取線段EB與ED的最大公度線段問題。由於在直角三角形中斜邊總是大於直角邊的，所以這個過程可以無限進行下去。

連分數

之前在圓周率的約率和密率一篇問答中講到了連分數。這個圖也比較有意思，這裡邊的根號2是無論如何也消不去的，得到的是一個無限的連分數，而無限的連分數是不能化為通常意義下的分數的。

戴德金分割（切割）

兩個由有理數為元素構成的集合A和B，集合A中的每個元素都小於集合B中的每個元素，A∪B=Q。通過邏輯分析，有下面4種情況。

1、A中有最大元素，B中無最小元素。

2、A中無最大元素，B中有最小元素。

3、A中無最大元素，B中無最小元素。

4、A中有最大元素，B中有最小元素。

事實上第4種情況是不存在的。用反證法。假設A中有最大元素a，B中有最小元素b，那麼（a+b）÷2顯然是個有理數，既不在集合A中，也不在集合B中。這就A∪B=Q發生矛盾。

戴德金分割打個形象的比喻，就好比在數軸上切一刀。第1種情況確定了一個有理數a，第2種情況確定了一個有理數b，第3種情況就正好切到了有理數的空隙上，就有必要引進一個新的數（非比例數），第3種情況確定了一個無理數。

那我們現在熟知的根號2就是下面的分割所確定的。集合A由所有的負有理數，以及平方小於等於2的非負有理數構成。集合B為平方大於2的非負有理數構成。這個分割A/B確定的數即為根號2。

由自然數擴充到實數，數的擴充，面臨的最大困難就是用有限數字表示無窮的數。數如果對應一條數軸，數軸上的點沒有空間延伸，線有長無寬。隨機截取一個區間1和2，這中間有無窮個點。顯然有限位數表示無窮個點是不可能，在無窮位數數列中，有些點可以通過一定規則找到的，如0.3循環，第一次十等分，在第四個位置能找到，再次十等分，在第四個位置能找到，這種有規則的無窮位數點歸於有理數。另一些點細分下去位置不固定，這類數歸於無理數。

有理數也可以表示某一位加零的循環數或者末位減1再加一串9的循環數。循環小數為有理數，非循環小數是無理數。

所以無理數與進制無關，任何進制，在任意基元中，都有無窮個點存在，其中能按規則找到的點都是有理數，不能按規則，只能通過計算確定位置的點都是無理數，如搞個九進制，一個點在0和1區間，第一次九等分，在第一個位置，再細分跑另一個位置，無窮細分下去，這個點在不同位置，沒有規律，無法按規則確定位置，這個點代表的數就是無理數。

無理數只存在於數學中，自然界不是連續的。√2不可能畫出來，只能表示你畫的是√2。

要證明√2為無理數。

反證法證明: 假設√2是有理數，則令√2=p/q，p、q為大於1的整數，且沒有公約數。

兩邊平方，有2q^2=p^2。則p為偶數，令p=2s，s為整數，代入前式q^2=2s^2，則q為偶數。

得出p、q都為偶數，與假設的前提p、q沒有公約數矛盾。

所以，假設是錯誤的。

所以，√2必為無理數。

可以證明的。假設根號2是有理數，那它一定可以寫成分數，或者說可以寫成兩個自然數相除的形式。那麼這兩個自然數的平方再相除就應該等於2。對於任何一個自然數，都可以分解成若干個質數相乘。那麼一個自然數平方後可分解的質數因子數量翻倍，就是說任何平方數的質因子的數量都是偶數。另一方面，如果兩個平方數相除等於質數2，那這兩個平方數的質因子個數一定有一個是奇數，一個是偶數。矛盾了，所以根號2不是有理數。

來一個最簡單的解釋:首先根號2在整數1和2之間，所以它不是整數。那就假設它是分數吧，如果它是分數，那這個分數肯定能化成最簡分數的形式(即分孑分母不能再約分的那種)，再平方以後，還是分數，而不會得到2這個整數，與題設矛盾！所以它也不是分數！所以根號2既不是整數也不是分數！

無限不循環小數之的斑象是可能用宇宙奇偶對稱守恆定律來描述的，這裡有一個尚未完成的數域理念需要發展，然道人的猜測是從探索黃金分割比0.618....這個包容宇宙一切複雜性的無理數中直覺體悟得到的。這個恩路用易經頂層設計，從上往下的方法論，經三次軸變換直接導出，

假設√2=n/m(n,m無公因數），那麼n²/m²=2。由於n/m是最簡分數，所以n²/m²也是最簡分數而不可能等於2，所以√2不可能是分數。

暴力相乘，然後就明白真的沒辦法找到循環的運算條件，也就說明這真的是無理數