李海東（人民教育出版社中學數學室）
摘要：做好從算術到代數的過渡，是順利實現中小學數學教學銜接的重要方面。為了更好地實現這一過渡，需要向學生滲透代數研究的基本內容和方法，並注意加強有理數的教學，加強對學生符號意識的培養，採用歸納的方式進行代數內容的教學。
關鍵詞：從算術到代數；中小學銜接；數學思維；銜接教學
小學數學教學與初中數學教學是義務教育階段中一脈相承的兩個教學階段，小學數學教學是初中數學教學的基礎，初中數學教學又是小學數學教學的深入和擴展。由於學生在小學中所學習的數學知識都比較具體、直觀，學生形象思維較強，而邏輯思維、抽象思維、概括能力較弱, 相當一部分學生從小學進入初中後，新知識的增加引發的新變化、視野的擴展、思維方式的改變等, 都讓剛剛步入初中門檻的學生一時難以適應初中的數學學習. 如何改變這一被動局面呢? 除了從教學方法、學習方法、學習習慣等方面做好銜接以外，更重要的是要讓學生逐步體會中學數學的核心內容和研究方法，而從算術到代數的過渡無疑是其中最重要的方面。
一、認識算術與代數的區別
從算術到代數，是學生數學學習過程中極為重要的轉變階段。算術中的基本對象是數，包括數的表示、數的意義、數之間的關係、數的運算等。在代數中，運算是核心內容，代數是一類算術運算規律的表示。代數運算的內容和方法比算術運算具有更廣闊的意義，兩者具有特殊和一般的關係。
1．算術運算與代數運算
算術運算與代數運算的根本區別在於算術運算是過程性的，其目的是為了求出算式的結果，而代數運算是結構性的，結構是從語言表達抽象出來的一種形式，是形式變換，代數運算具有過程性和結果性。
在算術中，當寫成兩個數相加的形式時，例如2＋3，通常就是要算出2與3的和，即5，2＋3通常只是一個過程，5是2＋3的結果。而在代數中，代數式a＋b這個形式本身，既表示a和b這兩個數做加法運算，又表示a和b相加的結果，即a+b本身既可以看作運算過程，又可以看作運算結果，也就是作為一個對象來看待。
把代數式作為一個結果對象來理解，對於開始學習代數的學生來講還是非常困難的。例如，對於一個長為a米，寬為b米的長方形，利用長方形的面積公式，學生可以很容易得到其面積是ab，但學生往往不認為ab就是長方形的面積（運算結果），經常要去問教師：ab到底是多少呢？由此也可以看出，對於代數式意義的理解，學生不可能一蹴而就，需要一個認知的過程。
2．算術解法與代數解法
在解決問題的過程中，代數的方法與算術的方法可以認為是解決問題的兩種手段。從解決問題方法的多樣性來考慮，算術的方法、列表的方法都不失為解決問題的途徑。但從思維發展的角度來說，代數的思考是在抽象層面上的思考，代數的方法具有一般性，有助於培養學生高層次的思維。
例如，對於我國古代數學中著名的雞兔同籠問題：一個籠子裡有若干只雞和兔，它們共有20個頭和64只腳，問雞和兔各有多少？
分析這兩種解法，可以看出，用算術方法的本質是尋求問題的結果，是從具體問題的已知數出發，通過對已知數或計算過程中產生的中間數進行一系列的運算而得到問題的解，並將問題形式化，思維過程是逆向的。而用方程的方法，首先要分析問題中的數量關係，尋找其中的等量關係，利用等量關係把問題表示為含有未知數的等式，把問題形式化，這一思維過程是順向的。然後利用等式的性質對方程進行恆等變形，這一過程中要保持等號兩邊的等量關係，進而求得x＝8。
在兩種解法中，“＝”的意義各不相同。算術解法中，“＝”用來表示問題的計算結果，而不是用來表示等號兩邊的數量關係。“20－8＝？”所傳達的信息是把20－8的結果算出來。而在方程解法中，“＝”用來表示左右兩邊的等量關係，無論是列方程，還是解方程，這個等量關係始終是保持不變的。方程的結構既包含了等量關係，又包含了代數式的運算結構和等式變形的結構。
二、對做好從算術到代數銜接教學的建議
1．加強有理數的教學，滲透代數研究的基本思想
代數問題中，運算是核心內容。引進一種新的數（量），就要研究相應的運算；定義一種運算，就要研究相應的運算律，這是代數的核心思想。這一核心思想在有理數的教學中的體現是十分充分的。“有理數”內容的展開過程，體現了一個完整的代數結構，即有理數的引入（用有理數表示一個量），研究有理數的運算（加法、乘法，及減法和除法運算），利用運算律（交換律、結合律、分配律）簡化運算，有理數的大小比較等其他問題。後續代數內容的研究，也都體現了這一基本結構。學生在有理數中獲得的知識，可以自然地遷移到用字母代表數後的學習內容中去。例如，對於式的內容的研究，由於用式中的字母表示數，因此對於數中成立的運算法則和運算律，在式中仍然成立。因此，對於式的研究也就可以轉化為數的研究，這就是數式通性。理解了有理數中的運算和運算律，對於實數、整式、分式、二次根式等初中將要學習的式的其他內容，也就迎刃而解了。
另外，在代數學習中，經常會遇到數系及其運算的擴充的問題。在這一擴充過程中，核心的問題是在添加了一類新數後，所引進的新數之間的運算歸結到原有的數之間的運算而定義運算法則，進而使原有的運算律在新的數系中得以保持。這樣的思想在有理數的教學中也可以滲透給學生，讓他們感受數學思想方法的薰陶。例如，在歸納運算法則時，要注意強調從符號和絕對值兩個角度著手，明確與負數有關的運算，都藉助絕對值，將它們轉化為正數之間的運算等。
因此，有理數內容的教學，在整個代數學習中具有基礎的地位和作用。通過有理數的教學，不僅僅是要教會學生進行具體的有理數的運算，還要滲透研究代數問題的基本內容和基本思路，為今後的學習打下基礎，而這一研究過程也體現在從算術到代數的過渡中。因此，對於有理數的教學，可以從在小學學習過的對數及其運算的基礎上展開新內容。小學階段對於正整數、0、正分數等的意義、運算和運算律的認識經驗，可以自然地延伸到有理數的學習中來。例如，可以回顧數的發展歷史，通過相反意義的量引出負數概念；通過思考小學學過的加法計算是正數與正數相加、正數與0相加，引入負數後，思考加法的類型有哪幾種？從而引出有理數的加法運算；通過問題“我們以前學過加法交換律、結合律，在有理數的加法中它們還適用嗎？”引出研究加法運算律的問題；等等。
2．加強符號意識的培養，讓學生體會從算術到代數的進步
代數研究的基本對象除了數，還有更具廣泛意義的基本對象——符號，這是代數不同於算術的典型特徵。在代數中，用字母表示數，用符號表示運算法則、運算性質、計算公式等，將數的知識提升到一般化的水平．在代數的課程中，學生要學習符號的意義，進行符號之間的運算（形式變換）和轉換，用符號進行表示，用符號解決問題。在這一過程中，很重要的一步是用字母來表示抽象運算，像對數那樣對符號進行運算，並且通過符號運算得到的結果是具有一般性的。例如，對於符號y＝ax，既可以表示長方形的面積與長、寬之間的關係，也可以表示平行四邊形的面積與底、高之間的關係，還可以表示路程與速度、時間之間的關係，又可以表示總價與單價、數量之間的關係……這表明數學符號不僅是一種表達方式，更是與數學概念、命題等具體內容相關的、體現數學基本思想的核心概念。正是因為符號的出現和廣泛使用，體現代數方法的優越性，體現了從算術到代數的進步。對學生符號意識的培養，可以從三個方面來考慮。
一是能理解並運用符號表示數、數量關係和變化規律。
例如，在有理數的教學中，要滲透用字母表示數的知識。例如，用－a表示a的相反數；用字母表示求一個數的絕對值的結論；用字母表示有理數的運算法則和運算律；等等。這樣可以使問題闡述得更簡明、更深入，讓學生體會字母表示數的簡潔性和廣泛性。
二是知道使用符號可以進行運算和推理。
例如，在整式的運算和解方程的過程中，在邏輯法則（特別是運算律）下對符號的變量進行替換、關係轉換、等價推演等的過程中，讓學生體會對符號的推理和運算，強調其過程中數式通性的原理和運算律（特別是分配律）所起的作用。
三是使學生理解符號的使用是數學表達和數學思考的重要形式。
在對學生符號意識的培養中，僅靠單純的符號推演和模仿記憶是難以達到應有的效果的，應該在數學問題的解決過程中發展學生的符號意識。例如，對於列方程解應用題，首先我們要分析問題中的數量關係，再尋找其中的等量關係，這就是一個使用符號進行抽象和表達的問題. 在解方程的過程中，根據等式的基本性質和運算律進行方程的同解變形，就是使用符號進行運算和推理的過程，而使用符號進行方程變形的依據是數式通性。這樣一個問題解決的過程，積累了學生運用符號進行數學活動的經驗，能更好地感悟符號所蘊涵的數學思想的本質，提高學生的符號意識。
3．採用歸納的方式進行教學，體現代數研究的基本方法
在代數的研究中，儘管我們有運算律，但是缺乏相應的代數直觀的引導。所以，在代數的研究中，尋找目標以有的放矢是十分重要的一步，而這個過程就是歸納法。因此，歸納法是代數研究的基本方法，歸納法在代數研究中的應用主要包括以下三個部分：一是歸納地發現具有某種特性的事物；二是歸納地定義該事物；三是歸納地證明上述定義所具有的特性。因此，在初中代數起始階段的教學中，要體現歸納法這種代數研究的基本方法，以更好地實現從算術到代數的過渡。
在代數的教學中，一定要體現歸納教學，為學生安排一個“具體事例—觀察、試驗—比較、分類—分析、綜合—抽象、概括”的過程，使學生有機會通過自己的類比和歸納而得出一般規律，獲得對代數對象及其運算的知識。這樣做的目的主要是為了體現以數學知識發生、發展過程為載體進行思維教學這一數學課程的核心任務，使學生在學習過程中，不僅學會知識，而且受到研究問題的思想方法訓練，從而培養學生的思維能力，逐步發展獨立解決問題的能力。實際上，這就是在進行數學基本思想的教學，也是讓學生積累數學活動經驗的過程。
例如，對數軸概念的教學，關鍵就是要用好教材中的具體實例，以及學生熟悉的生活事例，引導學生觀察、比較、分析和綜合等思維活動，並抽象出基準點、方向和與基準點的距離在刻畫事物相對位置中的作用，然後再結合引入負數概念過程中，用正、負數表示相反意義的量的經驗，概括出數軸的三要素。
再如，整式可以簡明地表示實際問題中的數量關係，它比只有具體數字表示的算式更具一般性。整式中的字母表示數，這使得關於整式的運算與數的運算具有一致性，因此可以說整式的運算是建立在數的運算基礎之上的，式的運算更具有一般性，數的運算是式的運算的特殊情形。學生已經學習了有理數的運算，能夠運用有理數的運算法則和運算律進行運算.因此，在教學“整式的運算”時，要充分注意與數的運算相聯繫，類比數的運算，在數的運算的基礎上歸納整式加減運算的法則和規律。例如，在學習“合併同類項法則”時，可以先讓學生進行數的運算100×2+252×2和100×（-2）+252×(-2)，在計算的過程中，重點思考進行運算的依據，然後引導學生利用這個依據，探討關於式100×t+252×t的運算，歸納得出合併同類項的法則。
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