原文: https://betterexplained.com

譯文: http://jakwings.is-programmer.com/posts/29546.html

虛數

虛數這個概念經常讓我感到困惑。就像是理解 e 一樣，許多解釋基本上都可以歸為這兩類：

• 這是一種數學抽象，這是方程式產生的結果，只管接受它就行了。
• 這個將用在高級物理中，相信我們吧，等你到了大學你就明白了。

專家們，這真是一種激勵孩子們積極好學的方法啊！今天就讓我們用我麼最喜歡的工具來攻克它吧：

• 關注其中的關係，而不是機械化的方程式。
• 把複數當作我們原有數字系統的升級版，就像0，十進制和負數那樣。
• 使用可視化的圖表，而不只是文字，來理解這個概念。

還有我們的祕密武器：通過類比來進行學習。我們通過對比它的先輩，負數，來進行學習。以下就是你的指南書：

看起來好像沒什麼意義，但是先把它放一邊。到最後我們將先抓到它，然後再攻克它，而不是反之。

5.1 真正的理解負數

負數並不簡單。假設你是18世紀的一名歐洲數學家。你有3和4，你知道4-3＝1。很簡單。

但是3－4呢？這，到底，意味著什麼呢？你怎麼能從3頭奶牛中拿走4頭？你怎們能擁有比空無一物更少的東西呢？

負數被認為是荒謬的，甚至被認為“導致整個數學都黯淡無光”（Francis Maseres，1759年）。但是在今天，認為負數符合邏輯或者是有用的並不荒謬。試著問問你的老師負數是否毀壞了數學的根基。

到底發生了什麼呢？我們引入了一種有著一些有用性質的理論數字。我們摸不到，也抓不住負數，但是它很好的描述了一些確定的關係（比如債務）。這是一個很有用的虛構。

相比說“我欠你30元”，然後看看文字確認到底是你欠我還是我欠你，我可以直接寫下“-30”，這樣我就知道是我欠你了。如果我賺到了錢，還請了債務（-30+100＝70），我可以很容易的記錄這筆交易。我還剩下70元，這意味著我已經沒有負債了。

正負標記可以自動的幫我們記錄方向——你不要一一判斷每筆交易。數學可以讓這更簡單，更優雅。負數是“有形還是無形”其實無所謂——它們有著一些有用的性質，直到它們真正進入我們的生活我們才把它們發揮的淋漓盡致。如果你沒有“得到”負數的話，你就會背上惡名（obscene name，應該是指美國的信用卡消費文化——譯者注）。

但是我們不應自以為是：負數是一次智力的大飛躍。即使是歐拉，那位發現了e以及其他東西的天才數學家，也不像我們今天這樣瞭解負數。負數被認為是“沒有意義”的結果（最後他也隨大流接受了這樣的結果）。

這只是一個簡單的證明，告訴我們今天的孩子們的智力應該可以更容易接受這些觀點，即使這些觀點曾經讓很多數學前輩們很是困惑。

5.2 進入虛數的世界

虛數也有一個類似的故事。我們可以很輕易的解出以下方程：

x²＝9

答案是3和-3。但是加入有一個聰明人加入了一個小小的負號呢：

x²＝－9

哦。許多人第一次見到這個方程就退縮了。你想把一個比零還小的數字開平方，這是荒謬絕倫的。

這看起來很瘋狂，就像負數，0，還有無理數（非重複數字）首次被引入時一樣瘋狂。這個方程並沒有什麼“實在”意義，對吧？

錯了。所謂的“虛數”就像其他數字一樣正常（即使它們也是被造出來的）：它們是描述世界的一種工具。就像假設-1，0.3，0“真實存在”一樣，讓我們也假設一些i存在吧：

i²＝－1

這就是，你把i自乘兩次就得到-1.接下來會發生什麼呢？

首先我們會頭疼。讓我們玩個“假裝i存在”的遊戲吧，這樣可以讓數學更簡單，更優雅。這樣其中的關係就可以很容易的浮現出來了。

你或許不相信i的存在，就像那些老前輩們不相信-1的存在一樣。現在是一個新的讓我們難以理解的概念，現在還看不出有什麼意義，即使是歐拉也沒有。但是正如負數告訴我們的，怪異的概念一樣可以有用。

我不喜歡“想象出來的數”這種稱呼——這是一種設計好的侮辱，誹謗，故意傷害i的感情。i就像其他數字一樣正常，但是“虛數”這個名字既然一直沿用下來了，我們只好繼續使用。

5.3 以一種可視化的方法理解負數與複數

方程式 x²＝9也可以表示成：

1·x²＝9

x應該是什麼，使得它自乘兩次後，1變成了9？

兩個答案就是“x＝3”與“x＝-3”：這就是，你“乘以3”或者“乘以3，然後翻轉”（翻轉或取反是乘以負數的另一種解釋）。

接下來讓我們考慮以下 x²＝-1，這其實就是：

1·x²＝-1

x應該是什麼，可以使它自乘兩次後，1變為-1？

• 我們不可能乘以一個正數，因為乘以正數以後還是正數
• 我們不能乘以一個負數兩次，因為相乘兩次後又會變為正數。

但如果是…… 旋轉呢！這聽起來很瘋狂，但是如果我們假設x被“轉過了90度”，然後乘以x兩次那就是旋轉180度，也就是把1翻轉成了-1！

耶！讓我們繼續深入考慮下去，我們可以把它繞其他方向旋轉（比如說順時針方向）來從1變為-1.這就是“負向”旋轉或者是稱作乘以-i：

如果我們乘以-i兩次，我們把1變成-i，然後-i變成-1，所以-1確實存在兩個根：i與-i。

這個很酷。我們有一些答案，但是這說明了什麼呢？

• i是一個“新的想像出來的維度”，來標記數字
• i（或者-i）就是指數字“被旋轉”
• 乘以i就是沿逆時針方向旋轉90度
• 乘以-i就是沿順勢正方向旋轉90度
• 無論那個方向，旋轉兩次就是-1：這就把我帶回到“傳統”的正負維度上去了。

數字是二維的。是的，這樣可能有些難以理解，這就像讓古羅馬人理解十進制與長除法一樣（你說1和2之間還有數字是什麼意思？）。

我們會問“怎樣通過兩步，把1變成-1”，然後我們就找到了答案：把它旋轉90度。這確實是一個奇怪但是又讓我們耳目一新的方法來理解數學。而且它很有用。（順便提一下，這種用幾何的方法解釋複數的方法直到i被發現幾十年後才被引入）

此外，逆時針為正是人們的一個約定俗成習慣——其他表示也是可以的。(未完待續)