解決二次函數動點類綜合問題，要充分利用二次函數的特性

二次函數對於中考數學的重要性不言而喻，解好二次函數，就相當於中考數學考好一半。因此，二次函數對於中考數學的重要性可想而知。

中考數學考查二次函數的知識點非常多，如有二次函數的基本概念、二次函數的圖象與性質、二次函數的應用、二次函數的綜合運用等等。題型有二次函數綜合問題、二次函數幾何綜合問題、二次函數動點問題、二次函數函數存在性問題、二次函數最值問題等等。

如果一名考生想在中考數學中拿到二次函數全部分數，就需要花大量時間和精力去學習相關知識內容，學會運用方法和技巧來解決問題，同時要接受大量習題訓練等等。

今天我們就一起來講講與二次函數相關的動點類問題。動點類問題也一直是中考數學重難點，在全國很多地方的中考數學當中，動點類問題都當做壓軸題來考查。

俗話說“點動成線，線動成面”，很多時候動點問題都會與幾何知識進行相關聯，所以二次函數動點類問題，很可能也會牽扯到大量幾何方面的知識。因此，如果你想要吃透二次函數動點類綜合問題，就需要吃透幾何知識。如在幾何圖形的運動過程中，我們需要抓住一些圖形特殊位置、關鍵數量關係中的“變”與“不變”的問題。

典型例題分析1：

如圖，在平面直角座標系中，平行四邊形ABOC如圖放置，將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90°得到平行四邊形A′B′OC′．拋物線y=﹣x2+2x+3經過點A、C、A′三點．

（1）求A、A′、C三點的座標；

（2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形A′B′OC′重疊部分△C′OD的面積；

（3）點M是第一象限內拋物線上的一動點，問點M在何處時，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？並寫出此時M的座標．

考點分析：

二次函數綜合題．

題幹分析：

（1）利用拋物線與x軸的交點問題可求出C（﹣1，0），A′（3，0）；計算自變量為0時的函數值可得到A（0，3）；

（2）先由平行四邊形的性質得AB∥OC，AB=OC，易得B（1，3），根據勾股定理和三角形面積公式得到OB的值，S△AOB=3/2，再根據旋轉的性質得∠ACO=∠OC′D，OC′=OC=1，接著證明△C′OD∽△BOA，利用相似三角形的性質得S△C’OD/S△BOA=（OC’/OB）2，則可計算出S△C′OD；

（3）根據二次函數圖象上點的座標特徵，設M點的座標為（m，﹣m2+2m+3），0＜m＜3，作MN∥y軸交直線AA′於N，求出直線AA′的解析式為y=﹣x+3，則N（m，﹣m+3），於是可計算出MN=﹣m2+3m，再利用S△AMA′=S△ANM+S△MNA′和三角形面積公式得到S△AMA′=﹣3/2m2+9/2m，然後根據二次函數的最值問題求出△AMA′的面積最大值，同時刻確定此時M點的座標．

解題反思：

本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數的性質、拋物線與x軸的交點和二次函數的最值問題；會運用旋轉的性質和平行四邊形的性質；會利用相似三角形的性質計算三角形的面積。

動點類問題本身就是中考數學壓軸題非常喜歡考查的考點，加上二次函數內容之後，更是讓相關題型變得複雜、知識點增多，更能考查大家運用知識解決問題的能力。同時在二次函數動點類綜合問題中，蘊含著豐富的數學思想，如常用有方程思想、數學建模思想、函數思想、轉化思想、分類討論法、數形結合法等等等。

正是基於此類問題的複雜性，二次函數動點類綜合問題慢慢變成學生普遍感覺難以解決的一類問題。要想解決此類問題，關鍵在於如何根據題目提供的信息，依據動點的變化特徵，抓住解決問題的關鍵，從而化難為易，巧妙解決。

典型例題分析2：

如圖，在平面直角座標系中，O為座標原點，拋物線y=ax2+2xa+c經過A（﹣4，0），B（0，4）兩點，與x軸交於另一點C，直線y=x+5與x軸交於點D，與y軸交於點E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是第二象限拋物線上的一個動點，連接EP，過點E作EP的垂線l，在l上截取線段EF，使EF=EP，且點F在第一象限，過點F作FM⊥x軸於點M，設點P的橫座標為t，線段FM的長度為d，求d與t之間的函數關係式（不要求寫出自變量t的取值範圍）；

（3）在（2）的條件下，過點E作EH⊥ED交MF的延長線於點H，連接DH，點G為DH的中點，當直線PG經過AC的中點Q時，求點F的座標．

考點分析：

二次函數綜合題．

題幹分析：

（1）利用待定係數法求二次函數的解析式；

（2）如圖1，作輔助線構建兩個直角三角形，利用斜邊PE=EF和兩角相等證兩直角三角形全等，得PA′=EB′，則d=FM=OE﹣EB′代入列式可得結論，但要注意PA′=﹣t；

（3）如圖2，根據直線EH的解析式表示出點F的座標和H的座標，發現點P和點H的縱座標相等，則PH與x軸平行，根據平行線截線段成比例定理可得G也是PQ的中點，由此表示出點G的座標並列式，求出t的值並取捨，計算出點F的座標。

為了解好二次函數動點類綜合問題，我們還需要掌握以下三種方法：

一是學會以靜化動

如把問題當中關鍵點的位置或移動後的停止的位置想成一個點，然後運用知識去解決問題。

二是學會運用對稱性

二次函數的圖象是一種軸對稱圖形，我們一定要利用好二次函數這種特殊性，一定要注意對稱性。

三是學會在變化過程建立等量關係

任何動點問題，最終都需要建立一個等量關係進行求解。因此，你必須學會在變化過程中，善於利用圖形特殊性，建立相關方程、函數關係式等等。

中考這條路是一條充滿艱辛道路，需要大家付巨大出努力，刻苦學習，同時更要講究學習方法，多做題，多積累題型等等。