不想在初二初三變差生，那就需要及時建立起這一數學思想

說到函數，相信大家並不陌生，在一些應用題和綜合運用等相關的題型中，函數都是不可或缺的角色，其重要性相當於一道題目的靈魂。

無論是一次函數和反比例函數，還是二次函數，雖然知識概念和難度會存在著一些差異，但本質上卻很類似，如都是運用函數的概念、圖像與性質等去解決問題，對於這個共性的方法，我們可以簡單理解成函數思想。

函數是基礎數學教育當中的重要內容，貫穿了整個中學的數學學習。

在初中數學當中，我們是這麼去函數：在一個變化過程中，有兩個變量x、y，如果給定一個x值，相應的就確定唯一的一個y，那麼就稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量，x的取值範圍叫做這個函數的定義域，相應y的取值範圍叫做函數的值域。

那麼，函數思想一般是指利用函數的性質去解題，在這個過程當中所“展現”出來的思維模式，就稱之為函數思想。如利用函數的單調性、奇偶性、週期性、最大值和最小值、圖像變換等。

​下面，我就結合一些實際例子，來幫助大家消化和理解函數思想，提高學習數學的水平。

函數思想，典型例題分析1：

已知直線y=√3x+4√3與x軸、y軸分別交於A、B兩點，∠ABC=60°，BC與x軸交於點C．

（1）試確定直線BC的解析式．

（2）若動點P從A點出發沿AC向點C運動（不與A、C重合），同時動點Q從C點出發沿CBA向點A運動（不與C、A重合），動點P的運動速度是每秒1個單位長度，動點Q的運動速度是每秒2個單位長度．設△APQ的面積為S，P點的運動時間為t秒，求S與t的函數關係式，並寫出自變量的取值範圍．

（3）在（2）的條件下，當△APQ的面積最大時，y軸上有一點M，平面內是否存在一點N，使以A、Q、M、N為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出N點的座標；若不存在，請說明理由．

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​考點分析：

一次函數綜合題。

題幹分析：

（1）由已知得A點座標，通過OA，OB長度關係，求得角BAO為60度，即能求得點C座標，設直線BC代入BC兩點即求得．

（2）當P點在AO之間運動時，作QH⊥x軸．再求得QH，從而求得三角形APQ的面積．

（3）由（2）所求可知，是存在的，寫出點的座標．

解題反思：

本題考查了一次函數的運用，考查了一次函數與直線交點座標，從而求得AB的長度，由△ABC是等邊三角形，從而求得。

​函數思想，典型例題分析2：

某商店5月1日舉行促銷優惠活動，當天到該商店購買商品有兩種方案，方案一：用168元購買會員卡成為會員後，憑會員卡購買商店內任何商品，一律按商品價格的8折優惠；方案二：若不購買會員卡，則購買商店內任何商品，一律按商品價格的9.5折優惠。已知小敏5月1日前不是該商店的會員。

（1）若小敏不購買會員卡，所購買商品的價格為120元時，實際應支付多少元？

（2）請幫小敏算一算，所購買商品的價格在什麼範圍時，採用方案一更合算？

解：（1）120×0.95=114（元），

若小敏不購買會員卡，所購買商品的價格為120元時，實際應支付114元；

（2）設所付錢為y元，購買商品價格為x元，則按方案一可得到一次函數的關係式：

y=0.8x+168，

則按方案二可得到一次函數的關係式：

y=0.95x，

如果方案一更合算，那麼可得到：

0.8x+168＜0.95x，

解得，x＞1120，

∴所購買商品的價格在1120元以上時，採用方案一更合算．

考點分析：

一次函數的應用．

題幹分析：

（1）根據所購買商品的價格和折扣直接計算出實際應付的錢；

（2）根據兩種不同方案分別求出商品的原價與實際所付價錢的一次函數關係式，比較實際價錢，看哪一個合算再確定一個不等式，解此不等式可得所購買商品的價格範圍。

解題反思：

本題考查的是用一次函數解決實際問題，此類題是近年中考中的熱點問題．注意利用一次函數求最值時，關鍵是應用一次函數的性質；即由函數y隨x的變化，結合自變量的取值範圍確定最值。

​​函數思想，典型例題分析3：

如圖，某廣場設計的一建築物造型的縱截面是拋物線的一部分，拋物線的頂點O落在水平面上，對稱軸是水平線OC。點A、B在拋物線造型上，且點A到水平面的距離AC=4O米，點B到水平面距離為2米，OC=8米。

（1）請建立適當的直角座標系，求拋物線的函數解析式；

（2）為了安全美觀，現需在水平線OC上找一點P，用質地、規格已確定的圓形鋼管制作兩根支柱PA、PB對拋物線造型進行支撐加固，那麼怎樣才能找到兩根支柱用料最省（支柱與地面、造型對接方式的用料多少問題暫不考慮）時的點P？（無需證明）

（3）為了施工方便，現需計算出點O、P之間的距離，那麼兩根支柱用料最省時點O、P之間的距離是多少？（請寫出求解過程）

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考點分析：

​二次函數的應用．

題幹分析：

（1）以點O為原點、射線OC為y軸的正半軸建立直角座標系，可設拋物線的函數解析式為y=ax²，又由點A在拋物線上，即可求得此拋物線的函數解析式；

（2）延長AC，交建築物造型所在拋物線於點D，連接BD交OC於點P，則點P即為所求；

（3）首先根據題意求得點B與D的座標，設直線BD的函數解析式為y=kx+b，利用待定係數法即可求得直線BD的函數解析式，把x=0代入y=-x+4，即可求得點P的座標．

解題反思：

此題考查了二次函數的實際應用問題．解此題的關鍵是根據題意構建二次函數模型，然後根據二次函數解題．

相比於其他數學內容，函數在整個初中當中屬於比較抽象的內容，這給很多學生的學習帶來一定的困難和挑戰。同時，方程思想與函數思想之間又相輔相成，如方程作為模型，可以對一些實際（數學）問題構造方程模型，從而列出方程並求解。函數用聯繫和變化的觀點研究數學對象，抽象其數量特徵，建立函數關係。在解決具體的數學問題過程中，我們構造出函數模型，化歸為方程，或通過方程模式，構造函數關係，實現函數與方程的互相轉化，達到解決問題的目的。