本篇主要講述數據預處理的常用方法——主成分分析，包括基本概念，數學基礎，優缺點，實施步驟及Python實現等內容。
1、基本概念
主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一種比較常見的數據分析方法，主要運用於數據降維，是通過線性變換將原來數據（N維數據）轉換成線性無關的維度來表示，轉換後的維度是根據方差大小排列，因此通過提取前K維（K≤N）數據，從而實現原數據的維度的下降。該方法儘可能保存了原有數據的差異性。
如圖所示，將三維降到二維空間，有效區分數據樣本。
該分析方法主要應用場景包括圖像處理，人臉識別等領域。
2、數學原理
PCA的本質就是將原數據用新的正交基來表示，其中新的維度之間相互獨立，即它們之間的協方差為0。因此假設原數據為X，降維後的數據為Y，Y=P*X，其中P為轉變函數。根據主成分分析定義選擇合適的P能夠使Y的協方差之和為0。
公式推導過程：
（1）對X數據進行均值化（每個數減去其平均值）處理，能夠簡化其平方差和協方差的計算公式。
原方差計算公式為：
簡化後方差計算公式：
簡化後協方差計算公式：
（2）均值化後的數據為X，則其各維度的協方差和方差的計算可通過矩陣完成；
（3）設
則可通過方陣對角化可得：
（4）計算Y=P*X的協方差
（5）根據（3）步驟和（4）步驟的公式可得
通過計算可得出轉化函數P就是樣本協方差的特徵向量的轉置。
3、優缺點
主成分分析的優點：
（1）消除了各維度之間的相關性，能夠將數據轉換成各不相關並相互獨立的主成分；
（2）降低數據間的複雜性，通過降低維度，減少了模型工作量；
（3）相對客觀，該方法不受主觀影響，也沒有參數需要調整，任何人使用該方法結果都一樣。
主成分分析缺點：
（1）將會有部分信息丟失情況；
（2）分析後的數據，其物理含義和業務理解不明確，比較模糊。
4、實施步驟
PCA的一般實施步驟為：
（1）將原始數據組成n行m列矩陣X，其中n表示特徵屬性，m表示樣本；
（2）將X的每一行（代表一個屬性字段）進行零均值化，即減去這一行的均值；
（3）計算出X的協方差矩陣C；
（4）求出協方差矩陣C的特徵值及對應的特徵向量；
（5）將特徵向量按對應特徵值大小從上到下按行排列成矩陣，取前k行組成矩陣P；
（6）計算Y=PX為降維到k維後的數據
5、Python實現
本內容以簡單示例來實現數據的主成分分析
步驟一：數據準備，導入相關數據X和程序包；其中每列表示1個樣本，每行表示一個屬性特徵值。
步驟二：均值化數據；該樣本數據屬性平均值為【2,3】，通過均值化後數據將會以0為中心分佈；
步驟三：計算X的協方差C；
步驟四：計算協方差C的特徵值和特徵向量；特徵值為【2,5,0.5】
步驟五：將特徵向量根據特徵值按從大到小排列，取值K行組成P；本次選擇k=1，其對應的最大特徵向量為【0.707,0.707】
步驟六：通過P*X，計算降維後的Y，降維後的數據為【-2.12，-0.70,0,2.12,0.70】
另外，通過以下公式t(p)*(p*x)+x_mean ,可以還原為原數據
6、經驗總結
主成分分析是一種降維的數據分析方法，一般應用於數據預處理階段，尤其在特徵維度較多的場景下，能夠有效降低模型的計算量。有以下知識點需要注意：
（1）特徵值就是指每個成分維度的方差值，特徵值的佔比表示該主成分代表了原數據的差異性的多少，也表示含有多少原始數據的信息量；
（2）一般選擇前K維的方差佔比≥80%，既能夠有效減少信息丟失，又能夠減少維度。